Baris dan Deret

 Barisan Aritmatika

1. Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ...c. 30, 25, 20, 15, ...Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika.Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.U₁ = aU₂ = U₁ + b = a + bU₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2bU₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3bU₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4bn = U_n–1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :U_n = a + (n – 1)bKeterangan: U_n = suku ke-na = suku pertamab = bedan = banyak suku

Contoh Soal 1 Barisan Aritmatika :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....Jawaban :–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 2 Barisan Aritmatika:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.Penyelesaian :Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :40 = –2 + (n – 1)3↔ 40 = 3n – 5
↔ 3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

2. Menentukan Rumus ke-n dari Suatu Barisan

Untuk menentukan rumus ke-n , kita harus menentukan suku pertama (a) dan beda (b).
Contoh :
Tulis rumusnya 2,3,4,…
Penyelesaian :
a = 2
b = 3-2 = 1
Un = a + (n-1) b
Un = 2 + (n-1) 1
Un = 2 + n – 1
Un = n – 1

3. Menentukan Suku ke-n dari Suatu Barisan
Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Sedangkan untuk menentukan suku ke-n dapat dicari dengan rumus yang dapat diketahui melalui aturan
pembentukan barisan bilangan

Contoh :
Tentukan suku ke-20 barisan bilangan 2,5,8,11,….
Penyelesaian :
a = 2
b = 5-2 = 3
Un = a + (n-1) b
= 2 + (20-1) 3
= 2 + 60 – 3
= 59

Dengan melihat nilai b, kita dapat menentukan barisan aritmatika itu naik atau turun, sebagai berikut :
a. Bila b > 0, maka barisan aritmatika itu naik.
b. Bila b < 0, maka barisan aritmatika itu turun.
Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku
ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku
terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).
sehingga diperoleh hubungan:
Ut = 1/2 (U1 + U(2t – 1) )
Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal,
maka:
Utengah = 1/2 ( Uawal + Uakhir)

5). Barisan Aritmatika Tingkat Banyak (Pengayaan)
Barisan aritmatika tingkat x adalah sebuah barisan aritmatika yang memiliki selisih
yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.
Dengan menggunakan pembuktian Binomium Newton (tidak diuraikan disini), maka
rumus umum suku ke-n untuk barisan aritmatika tingkat banyak adalah:
Un = a + (n – 1)b + 1/2 (n -1)(n -2)c + 1/3 (n -1)(n – 2)(n-3)d + ….

Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya

B) Deret Aritmatika
1. Pengertian Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah jumlah suku – suku barisan aritmatika. Jika a adalah suku pertama deret aritmatika, Un suku ke-n, Sn jumlah Un . Maka:
Sn = 1/2 n (a + Un)
Keterangan:
1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn”)
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < un =” Sn” un =” Sn'” ut =” 1/2″ sn =” 1/2″ ut =” Sn” a =” 1″ b =” 3-2″ sn =” 1/2″ s10 =” 1/2″ s10 =” 1/2″ s10 =” 55″>2. Sifat-Sifat Deret Aritmatika
1) Un – U(n – p) = b . p
2) Sn = 1/2 n (a + Un) = 1/2 n {2a + (n-1) b}

C. Sisipan dan Deret Aritmatika
1. Pengertian Sisipan
Sisipan dalam deret aritmatika adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika, sehingga terjadi deret aritmatika yang baru.
Contoh
Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……

2. Beda Deret Baru
Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b
k+1
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan

Contoh :
Di antara dua suku yang berurutan pada deret 6 + 15 + 24 + 33 + … disisipkan 2 buah bilangan, maka :
b = 15 – 6 = 9 dan k = 2
b = 9 = 3
k+1 2+1

Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Supaya lebih jelas, cobalah perhatikan contoh dalam tabel berikut ini.

Bilangan berpangkat bulat positif memiliki beberapa sifat juga, nih, Quipperian. Misalnya a dan b merupakan bilangan bulat serta m dan n merupakan bilangan bulat positif, maka berlaku sifat-sifat berikut:

Sifat pertama ini memudahkanmu dalam melakukan operasi perkalian pada bilangan berpangkat dengan basis yang sama namun eksponen yang berbeda. Kamu hanya perlu menambahkan eksponennya, selesai deh!

Kalau sifat pertama tadi berkaitan dengan operasi perkalian, sifat kedua ini berkaitan dengan operasi pembagian. Jadi, kalau kamu harus melakukan pembagian pada bilangan berpangkat dengan basis yang sama namun eksponen yang berbeda, kamu dapat langsung mengurangi eksponennya saja.

Sifat ketiga ini berkaitan dengan operasi perkalian terhadap kelompok bilangan. Supaya nggak sulit, kamu ternyata bisa, lho, memecah kelompok bilangan yang berada di dalam tanda kurung dan menjadikan masing-masing bilangan sebagai basis dengan eksponen yang sama.

Sudah bilangan berpangkat, masih dipangkatkan lagi? Eits, nggak perlu bingung, sifat keempat ini bisa mempermudah hidupmu. Kamu tinggal mengalikan kedua eksponen saja, beres deh.

Perpangkatan terhadap pecahan bukan lagi hal yang sulit, deh! Berdasarkan sifat kelima ini, kamu bisa mempermudah operasi pemangkatan terhadap pecahan dengan memberikan eksponen yang sama pada pembilang dan juga penyebut dalam pecahan yang dipangkatkan tersebut.

Pangkat atau eksponen juga dapat berupa angka nol, lho. Wah, dikalikan berapa kali, tuh? Nol kali? Psst, daripada pusing, yuk kita lihat penjabarannya berikut ini:

Dengan begitu, kita mengetahui bahwa bilangan berapapun, bila memiliki pangkat nol, hasilnya adalah satu. Mudah, kan?

Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Tadi, kita telah berkenalan dengan bilangan berpangkat bulat positif beserta sifat-sifatnya dan juga bilangan berpangkat nol. Diketahui bahwa  dan . Dengannya, kita bisa lho, mengetahui definisi dari bilangan berpangkat bulat negatif. Ini dia penjabarannya:

Sifat-sifat bilangan berpangkat positif sebagai berikut:

Selanjutnya, coba kerjakan contoh soal dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat positif di bawah ini:

Sederhanakanlah bilangan berpangkat berikut ini!

Jawab:

 

 

Bilangan Berpangkat Nol

Squad, selain bilangan berpangkat positif dan bilangan negatif, dalam matematika juga ada bilangan berpangkat nol. Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa . Berdasarkan sifat pembagian bilangan berpangkat positif dapat diperoleh . Sehingga sifat untuk bilangan berpangkat nol adalah:

Jika a bilangan riil dan a tidak sama dengan 0, maka 

Supaya lebih jelas, coba kerjakan contoh soal bilangan berpangkat nol di bawah ini:

Sederhanakanlah bilagan berpangkat berikut:

Jawab:

 

Nah Squad, itulah penjelasan tentang bilangan berpangkat yang terdiri dari bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif dan bilangan berpangkat nol beserta sifat-sifatnya.

Peluang

A. Pengertian Peluang

Peluang bisa diartikan sebagai suatu cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan akan terjadinya suatu peristiwa. di dalam sebuah permasalahan pasti ada ketidakpastian yang disebabkan  oleh suatu tindakan yang terkadang berakibat lain.

Misalkan terjadi pada sebuah mata uang logam yang dilemparkan ke atas maka akibatnya dapat muncul sisi gambar (G) atau sisi angka (A), maka sisi yang akan muncul tersebut  tidak dapat dikatakan secara pasti kebenarannya.

Akibat  dari peristiwa melemparkan sebuah mata uang logam tersebut ada salah satu dari dua kejadian yang kemungkinan bisa terjadi yaitu munculnya sisi G atau A. Kegiatan melemparkan sebuah mata uang logam tersebut dapat dikatan sebagai suatu tindakan acak. Tindakan tersebut dapat diulang sampai beberapa kali dan rangkaian dari tindakan tersebut dinamakan percobaan.

B. Frekuensi Relatif

Frekuensi adalah perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya hasil dari kejadian yang diamati. Dan dari Percobaan melemparkan mata uang logam tersebut  maka frekuensi relative dapat  dirumuskan sebagai berikut :

C. Ruang Sampel 

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kejadian (hasil) percobaan yang mungkin terjadi. Ruang sampel dilambangkan dengan S.
Contoh
a. Ruang sampel pada pengetosan sebuah dadu ialah S =(1,2,3,4,5,6)
b. Ruang sampel pada pengetosan sebuah mata uang logam ialah S= (A, G)

Menentukan Ruang Sampel

Ruang sampel dari hasil melempar dua buah  mata uang juga dapat ditentukan dengan menggunakan tabel (daftar) seperti berikut ini.

1)

Ruang sampelnya ialah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Kejadian A1 yang dapat memuat dua gambar = (G,G)
Kejadian A2 yang tidak dapat memuat gambar = (A,A)

2).

Contoh
Tiga mata uang dilambungkan bersama-sama. Banyaknya anggota ruang sampel adalah ….
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9

Pembahasan
Cara 1: Menentukan banyaknya ruang sampel dengan tabel.



Cara 2: Menentukan banyaknya ruang sampel dengan diagram pohon.



Menentukan banyaknya ruang sampel dengan rumus
Banyaknya titik sampel pada  keping mata uang adalah 
Banyaknya titik sampel pada  keping mata uang adalah 

Kesimpulan:
Jadi, banyak anggota ruang sampel tiga mata uang yang dilambungkan adalah 8 yaitu .

D. Titik Sampel

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel

Contoh
Ruang sampel dari S adalah =  ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))
Titik sampelnya ialah = ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))

E. Rumus Peluang Matematika

Dari hasil Percobaan melemparkan mata uang logam hasilnya adalah G atau A. Apabila percobaan dilempar  sampai 10 kali dan muncul G 4 kali maka frekuensi relatif munculnya G itu adalah 4/10. Dan Jika percobaan tersebut dilakukan sampai 10 kali lagi dan muncul G 3 kali sehingga dalam 20 kali percobaam G muncul sebanyak 7 kali maka frekuensi relatif muncul untuk G pada 20 percobaan ialah 7/20.

1.Peluang Kejadian A atau P(A)

Peluang dari kejadian tersebut  dapat ditentukan dengan cara seperti berikut.
S = {1,2,3,4,5,6} maka nilai dari n(S) = 6
A = {2,3,5} maka nilai dari n(A) = 3

dengan begitu maka peluang dari kejadian A yang jumlah anggotanya dapat dinyatakan dalam n(A) dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

F. Nilai Peluang

Nilai-nilai peluang yang bisa diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Untuk setiap kejadian A, batas-batas dari nilai P(A) secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

0 ≤ P (A)  ≤ 1 dengan P(A) adalah peluang suatu kejadian A

Jika nilai P(A) = 0, maka kejadian A ialah kejadian mustahil, maka peluangnya ialah 0.
Contoh :
Matahari terbit dari sebelah selatan adalah kejadian mustahil, maka peluangnya adalah 0.
Jika P(A) = 1, maka kejadian dari A adalah kejadian pasti

1. Frekuensi Harapan

frekuensi harapan merupakan suatu kejadian yaitu harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang telah dilakukan. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut

Frekuensi harapan = P(a) x banyak percobaan

Contoh :
Pada percobaan mengetos sebuah dadu yang telah dilakukan sebanyak 60 kali, maka :
Peluang akan muncul mata 2 = 1/6
Frekuensi harapan akan muncul mata 2 = P (mata 2) x banyak percoban
= 1/6 x 60
= 10 kali

2. Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.

Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K’ memenuhi persamaan:

P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)

G. Penjumlahan Peluang

1. Kejadian Saling Lepas

dua buah kejadian A dan B dapat dikatakan saling lepas apabila tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terjadi pada kejadian B, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya ialah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Tidak Saling Lepas

Maksutnya adalah ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskanseperti berikut ini:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

3. Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat dapat terjadi apabila kejadian A dapat mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka dari itu  dapat dituliskan seperti berikut ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Karena kejadiannya itu saling berpengaruh,makadapat digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal Peluang

Contoh Soal 1

1. Pada suatu percobaan melempar sebuah mata uang logam yang dilakukan sebanyak 120 kali, ternyata peluang  muncul angka sebanyak 50 kali. Tentukanlah frekuensi relatif muncul angka dan frekuensi relatif muncul gambar tersebut!

Penyelesaian:

a).Frekuensi relatif muncul angka = Banyak angka yang muncul/Banyak percobaan
= 50/120
= 5/12

b).Frekuensi relatif muncul gambar = Banyak gambar yang muncul/Banyak percobaan
= (120 – 50) / 120
= 70/120
= 7/12

Contoh Soal 2

2. Dua buah mata dadu ditos bersama-sama. Tentukan peluang kejadian berikut ini
a. Peluang muncul dadu pertama bermata 4
b. Peluang muncul mata dadu berjumlah 9

Penyelesaian:

Kita buat terlebih dahulu ruang sampel percobaan mengetos dua dadu seperti berikut.

a. Jumlah mata dadu pertama bermata 4, berarti dadu kedua boleh jadi bermata 1,2,3,4,5, atau 6. Dengan begitu, kejadian muncul dadu pertama bermata 4 adalah :
M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}
Jadi, P (dadu I bermata 4) = n(M)/n(S) = 6/36 = 1/6

b. Kejadian untuk muncul mata dadu berjumlah 9 ialah :
N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}
Jadi, nilai dari P (jumlah 9) = n(N)/n(S) = 4/36 = 1/9

Contoh Soal 3

Dua dadu dilemparkan bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 10 adalah ….

  

  

  

  

Pembahasan:
Titik sampel dari pelemparan dua dadu adalah sebagai berikut.


Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 10.
Maka: n(A) = 3
Banyaknya ruang sampel = n(S) = 36

  

  

Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 10 adalah .
Jawaban: B


Contoh Soal 4

Roni diperbolehkan ibunya untuk mengambil satu permen dari sebuah kantong. Dia tidak dapat melihat warna permen tersebut. Banyaknya permen dengan masing-masing warna dalam kantong tersebut ditunjukkan dalam grafik berikut.



Berapa peluang Roni mengambil sebuah permen warna merah?
A. 10%
B. 20%
C. 25%
D. 50%
 

Pembahasan:
Total ruang sampel = n(S) = 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30
Banyak permen merah = n(A) = 6
Peluang Roni mengambil sebuah permen warna merah adalah

  

  

  

Jawaban: B