Peluang

A. Pengertian Peluang

Peluang bisa diartikan sebagai suatu cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan akan terjadinya suatu peristiwa. di dalam sebuah permasalahan pasti ada ketidakpastian yang disebabkan  oleh suatu tindakan yang terkadang berakibat lain.

Misalkan terjadi pada sebuah mata uang logam yang dilemparkan ke atas maka akibatnya dapat muncul sisi gambar (G) atau sisi angka (A), maka sisi yang akan muncul tersebut  tidak dapat dikatakan secara pasti kebenarannya.

Akibat  dari peristiwa melemparkan sebuah mata uang logam tersebut ada salah satu dari dua kejadian yang kemungkinan bisa terjadi yaitu munculnya sisi G atau A. Kegiatan melemparkan sebuah mata uang logam tersebut dapat dikatan sebagai suatu tindakan acak. Tindakan tersebut dapat diulang sampai beberapa kali dan rangkaian dari tindakan tersebut dinamakan percobaan.

B. Frekuensi Relatif

Frekuensi adalah perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya hasil dari kejadian yang diamati. Dan dari Percobaan melemparkan mata uang logam tersebut  maka frekuensi relative dapat  dirumuskan sebagai berikut :

C. Ruang Sampel 

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kejadian (hasil) percobaan yang mungkin terjadi. Ruang sampel dilambangkan dengan S.
Contoh
a. Ruang sampel pada pengetosan sebuah dadu ialah S =(1,2,3,4,5,6)
b. Ruang sampel pada pengetosan sebuah mata uang logam ialah S= (A, G)

Menentukan Ruang Sampel

Ruang sampel dari hasil melempar dua buah  mata uang juga dapat ditentukan dengan menggunakan tabel (daftar) seperti berikut ini.

1)

Ruang sampelnya ialah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Kejadian A1 yang dapat memuat dua gambar = (G,G)
Kejadian A2 yang tidak dapat memuat gambar = (A,A)

2).

Contoh
Tiga mata uang dilambungkan bersama-sama. Banyaknya anggota ruang sampel adalah ….
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9

Pembahasan
Cara 1: Menentukan banyaknya ruang sampel dengan tabel.



Cara 2: Menentukan banyaknya ruang sampel dengan diagram pohon.



Menentukan banyaknya ruang sampel dengan rumus
Banyaknya titik sampel pada  keping mata uang adalah 
Banyaknya titik sampel pada  keping mata uang adalah 

Kesimpulan:
Jadi, banyak anggota ruang sampel tiga mata uang yang dilambungkan adalah 8 yaitu .

D. Titik Sampel

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel

Contoh
Ruang sampel dari S adalah =  ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))
Titik sampelnya ialah = ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))

E. Rumus Peluang Matematika

Dari hasil Percobaan melemparkan mata uang logam hasilnya adalah G atau A. Apabila percobaan dilempar  sampai 10 kali dan muncul G 4 kali maka frekuensi relatif munculnya G itu adalah 4/10. Dan Jika percobaan tersebut dilakukan sampai 10 kali lagi dan muncul G 3 kali sehingga dalam 20 kali percobaam G muncul sebanyak 7 kali maka frekuensi relatif muncul untuk G pada 20 percobaan ialah 7/20.

1.Peluang Kejadian A atau P(A)

Peluang dari kejadian tersebut  dapat ditentukan dengan cara seperti berikut.
S = {1,2,3,4,5,6} maka nilai dari n(S) = 6
A = {2,3,5} maka nilai dari n(A) = 3

dengan begitu maka peluang dari kejadian A yang jumlah anggotanya dapat dinyatakan dalam n(A) dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

F. Nilai Peluang

Nilai-nilai peluang yang bisa diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Untuk setiap kejadian A, batas-batas dari nilai P(A) secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

0 ≤ P (A)  ≤ 1 dengan P(A) adalah peluang suatu kejadian A

Jika nilai P(A) = 0, maka kejadian A ialah kejadian mustahil, maka peluangnya ialah 0.
Contoh :
Matahari terbit dari sebelah selatan adalah kejadian mustahil, maka peluangnya adalah 0.
Jika P(A) = 1, maka kejadian dari A adalah kejadian pasti

1. Frekuensi Harapan

frekuensi harapan merupakan suatu kejadian yaitu harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang telah dilakukan. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut

Frekuensi harapan = P(a) x banyak percobaan

Contoh :
Pada percobaan mengetos sebuah dadu yang telah dilakukan sebanyak 60 kali, maka :
Peluang akan muncul mata 2 = 1/6
Frekuensi harapan akan muncul mata 2 = P (mata 2) x banyak percoban
= 1/6 x 60
= 10 kali

2. Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.

Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K’ memenuhi persamaan:

P(K) + P(K’) = 1 atau P(K’) = 1 – P(K)

G. Penjumlahan Peluang

1. Kejadian Saling Lepas

dua buah kejadian A dan B dapat dikatakan saling lepas apabila tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terjadi pada kejadian B, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya ialah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Tidak Saling Lepas

Maksutnya adalah ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskanseperti berikut ini:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

3. Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat dapat terjadi apabila kejadian A dapat mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka dari itu  dapat dituliskan seperti berikut ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Karena kejadiannya itu saling berpengaruh,makadapat digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal Peluang

Contoh Soal 1

1. Pada suatu percobaan melempar sebuah mata uang logam yang dilakukan sebanyak 120 kali, ternyata peluang  muncul angka sebanyak 50 kali. Tentukanlah frekuensi relatif muncul angka dan frekuensi relatif muncul gambar tersebut!

Penyelesaian:

a).Frekuensi relatif muncul angka = Banyak angka yang muncul/Banyak percobaan
= 50/120
= 5/12

b).Frekuensi relatif muncul gambar = Banyak gambar yang muncul/Banyak percobaan
= (120 – 50) / 120
= 70/120
= 7/12

Contoh Soal 2

2. Dua buah mata dadu ditos bersama-sama. Tentukan peluang kejadian berikut ini
a. Peluang muncul dadu pertama bermata 4
b. Peluang muncul mata dadu berjumlah 9

Penyelesaian:

Kita buat terlebih dahulu ruang sampel percobaan mengetos dua dadu seperti berikut.

a. Jumlah mata dadu pertama bermata 4, berarti dadu kedua boleh jadi bermata 1,2,3,4,5, atau 6. Dengan begitu, kejadian muncul dadu pertama bermata 4 adalah :
M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}
Jadi, P (dadu I bermata 4) = n(M)/n(S) = 6/36 = 1/6

b. Kejadian untuk muncul mata dadu berjumlah 9 ialah :
N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}
Jadi, nilai dari P (jumlah 9) = n(N)/n(S) = 4/36 = 1/9

Contoh Soal 3

Dua dadu dilemparkan bersamaan satu kali, peluang munculnya mata dadu berjumlah 10 adalah ….

  

  

  

  

Pembahasan:
Titik sampel dari pelemparan dua dadu adalah sebagai berikut.


Misalkan A adalah kejadian munculnya jumlah kedua dadu sama dengan 10.
Maka: n(A) = 3
Banyaknya ruang sampel = n(S) = 36

  

  

Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 10 adalah .
Jawaban: B


Contoh Soal 4

Roni diperbolehkan ibunya untuk mengambil satu permen dari sebuah kantong. Dia tidak dapat melihat warna permen tersebut. Banyaknya permen dengan masing-masing warna dalam kantong tersebut ditunjukkan dalam grafik berikut.



Berapa peluang Roni mengambil sebuah permen warna merah?
A. 10%
B. 20%
C. 25%
D. 50%
 

Pembahasan:
Total ruang sampel = n(S) = 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30
Banyak permen merah = n(A) = 6
Peluang Roni mengambil sebuah permen warna merah adalah

  

  

  

Jawaban: B